Funciones Trigonométricas de Ángulos(9 abril)

El 9 de abril se discutió lo que son las Funciones Trigonométricas de Ángulos,las cuales permiten resolver problemas prácticos en los que los ángulos no necesariamente son agudos. Primero se definieron las relaciones trigonométricas de todos los ángulos

                                         

Definición de Funciones Trigonométricas:

Sea 0 un angulo en posición estándar y sea P(x,y) un punto sobre el lado terminal si

es la distancia del origen al P(x,y), entonces:

Ejemplo 1: Hallar funciones trigonométricas para ángulos que no son agudos.

Solución:

Aplicaciones de Trigonometria de Triangulo Rectangulos (4/abril/2013)

En este tema apendimos como resolver un triangulo rectangulo:

a= r cos β
b= r sen β 

Para poder resolver este triangulo, debemos determinar todas sus partes mediante la informacion que tengamos del triangulo. En otras palabras, tenemos que determinar las longitudes de los tres lados y las medidas de sus angulos.

Ejemplo:

Para hallar: Triangulo 30, 60, 90
a= 12 sen 30
a= 6

b= 12 cos 30
aprox. = 10.39

Trigonometría de amgulos rectos: Relaciones trigonométricas (3/abril/2013)

a) seno θ = cateto opuesto/hipotenusa
b) coseno θ = cateto adyacente/hipotenusa
c) tangente θ = cateto opuesto/cateto adyacente
d) cosecante θ (csc) = 1/sen θ = hipotenusa/cateto opuesto
e) secante θ (sec) = 1/cos θ = hipotenusa/cateto adyacente
f) contangente θ (cot) = 1/tan θ = cateto adyacente/cateto opuesto

Ejemplo: Hallar las relaciones trigonometricas

*sen θ = cateto opuesto/hipotenusa = 2/3

*cos θ = cateto adyacente/hipotenusa =

*tan θ= cateto opuesto/cateto adyacente =

*csc θ= hipotenusa/cateto opuesto= 3/2

*sec θ= hipotenusa/cateto adyacente =

*cot θ= cateto adyacente/cateto opuesto=

Ángulo en posición estándar (2/abril/13)

- Un ángulo está en posición estándar si se dibuja en el plano xy con su vértice en el origen y su lado inicial en eje x positivo.

Ejemplo:

A)  

         










B)













C) 

D)

Para hallar ángulos negativos que sean coterminales se resta cualquier multiplo de 360 grados

30grad.-360grad = -330grad

30grad-720grad = -690grad

Medida Angular(1/abril/13)

Las funciones trigonometricas se pueden dividir en dos maneras distintas  pero equivalentes; como funciones de numeros reales como funciones de angulos.

Un angulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 1/360 de una revolucion completa. En calculo y otras ramas de la matematica, se usa un modo mas natural de medir angulos, la medida en radianes. La cantidad que se abre un angulo se mide a lo largo del arco de un circulo de radio 1 con su centro en el vertice del angulo.

• Si un angulo de radio 1 se traza con el vertice de un angulo en un centro, entonces la medida de este angulo en radianes es la longitud del arco que subtiende el angulo.
• La circunferencia de radio 1 es 2π y, por lo tanto, una revolucion completa tiene 2π rad, un angulo llano tiene medida de π rad y un angulo recto tiene medida de π/2 rad.

Ley de Enfriamiento de Newton(13 marzo)

El el 13 de marzo Continuamos con el tema de crecimiento y decaimiento exponencial utilizando la Ley de Enfriamiento de Newton, cuya formula es:

 Ejemplo 1:

Se saca del horno un pavo asado con una temperatura que alcanza los 185°F y se coloca en la mesa, donde la habitación tiene una temperatura ambiente de 75°F. Si la temperatura del pavo es de 150°F después de media hora:
A) ¿Cual es la temperatura después de 45 minutos?
B) ¿En cuanto tiempo el pavo se enfriara a 100°F?

*Tomamos la formula y sustituimos utilizando los datos dados.

*Primero tendremos que buscar la tasa relativa (k), para así poder resolver las preguntas.



















A) Ahora que tenemos el valor de k, sustituimos y utilizando la calculadora encontramos la temperatura final T(t).

.










*La temperatura del pavo después de 45 minutos sera aproximadamente 137°F.

B) Finalmente, sustituimos para encontrar el tiempo (t) en que se tardara el pavo en llegar a los 100°F.

*El pavo se enfriara a 100°F en aproximadamente 116 minutos.

Crecimiento y Decaimiento Exponencial (11/Marzo/2013)

Un cultivo de bacterias empieza con 10,000 y el cultivo se duplica cada 40 minutos.

a) Encuentra una funcion que modele el numero de bacterias en el tiempo (t).
b) Encuentre el numero de bacterias despues de una hora

c) Despues de cuantos minutos habra 50,000 bacterias?

 

Si un hueso de animal contiene 73% de la cantidad de c-14 que contenia cuando el animal estaba vivo, si este murio hace t a~os. La vida media del c- 14 es de 5,730 a~os.

Ecuaciones Logaritmicas (5/Marzo/2013)

este blog le tocaba a Samaris pero ella se encontraba de viaje y no estuvo presente para este material

Ecuaciones Exopenciales y Logaritmicas (4/marzo)

Ecuaciones exponenciales que no requieren logarítmos.

1        1.     2^x=16                 4.  2(10^x)=200

      2^x=2⁴                             2(10^x)/2 = 200/2

       X=4                       10^x=100

                                      10^x=10²

 2. 5^x+1=625                    X=2

    5^x+1=5^{4                  5.}  4^2x+3=1

     X+1=4                  4^2x+3=4⁰

     X=4-1                  2x+3=0

      X=3                      2x/2=-3/2

                                   x= -3/2

3.  2^3x-1=32              

    2^3x-1=2^{5                   6.} 6^3m x 6 ^-m = 6^-2m 

    3x-1=5                   6^3m-m=6^-2m

      3x=6                     6^2m=6^-2m

       X=2                      2m=-2m

                                   2m+2m= 0

                                   4m=0

                                   4m/4= 0/4

                                     m = 0

Leyes de los logaritmos(26/feb.)

Sea a un número positivo con a ≠ 1. Sea A,B y C numeros reales cualesquiera con A>0 y B>0.

Ley:
1)

El logaritmo de un producto de numero es la suma de los logaritmos de los numeros.

2)

El logaritmo de un cociente de numeros es la diferencia de los logaritmos de los numeros.

3)

El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el logaritmo del numero

Ej:

Propiedades de los logaritmos naturales (25 & 28 febrero)

Durante los pasados 25 y 28 de febrero estuvimos hablando sobre los logaritmos naturales y sus propiedades, las cuales son:

Ejemplos:

Propiedad #1: Todo numero elevado a 1 es 0.

Propiedad #2: Todo numero elevado por si mismo es 1.

Propiedad #3:

Propiedad #4:

Logaritmos Comunes (22 & 25/ Febrero/ 2013)

Logaritmos Comunes (22 & 25/ febrero/ 2013)

Durante estos dias estuvimos discutiendo material nuevo. El tema era Logaritmos Comunes. A los logaritmos con base 10 se les llama “logaritmos comunes” y se denotan omitiendo la base.

Por ejemplo:

Logx = log₁₀x

Para determinar con exactitud el valor de un logaritmo, escribimos el logaritmo en notación exponencial. Luego aplicamos la ley que ya sabemos sobre las bases iguales.

Si aᵛ = aᵘ

Entonces, v = u

Ejemplos:

                                                                                                                                1.       log₅5⁴ = t

5ᵗ = 5⁴

t = 4

La idea es igualar las bases y resolver con las propiedades que ya conoces y estás listo para resolver cualquier ejercicio de logaritmos comunes.

Caracteristicas de la grafica de la funcion logaritmica (21-feb-2013)

En la clase del 21 de febrero, vimos algunos ejemplos y detalles de las graficas con funciones logarítmicas. Existen varias con distintos dominios, rangos, puntos, asintotas y si es creciente o decreciente.

1) a > 1
-Dominio: D(f)= (0,   )
-Rango: R(f)= (-  ,  )
-Puntos: (1,0) y (a,1)
-Asintota: al eje de y
-Creciente

2) 0 < a< 1
-Dominio: D(f)= (0,  )
-Rango: R(f)= (-  ,  )
-Puntos: (1,0) y (a,1) 
-Asintota: al eje de y 
-Decreciente

Ejemplo para construir una tabla de valores:
Se escogen los valores para x como potencia de 2. Asi podemos hallar los logaritmos facilmente.