Ecuaciones con radicales :P

En la clase del martes Mr. López discutió las ecuaciones con radicales, es un tema que también conocíamos anteriormente. Dentro de este tema continuamos repasando las ecuaciones cuadráticas, ya que utilizamos el método de factorización para terminar de resolver los ejercicios.

Ejemplos:

 1)x-5=√(x+7 )
(x-5)^2=(√(x+7))^2
x^2-10x+25=x+7
x^2-10x+25-x-7=0
x^2-11x+18=0
(x-2)(x-9)=0
x-9=0  x-2=0
x1=9     x2=2

*En las ecuaciones con radicales, se comienza elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación para poder eliminar el radical. Queda eliminado el radical y al otro lado se resuelve el binomio al cuadrado según el Teorema de Pascal. Luego igualas a 0 y unes términos semejantes. Finalmente resuelves utilizando el método de factorización y obtienes el conjunto solución.

 Verificación:

x-5=√(x+7)       x-5=√(x+7)
9-5=√(9+7)       2-5=√(2+7)
4=√16                   -3=√9
4=4                        -3≠3
Cierta                   Extraña 

*Para verificar si la ecuación es cierta, sustituyes a X por sus valores y resuelves. Si el resultado es el mismo en ambos lados de la igualdad es cierta, pero si no lo es seria extraña.

2)√(2x+3)-√(x+1)=1

(√(2x+3)-√(x+1))^2=1^2
(√(2x+3))^2-2(√(2x+3))(√(x+1))+(√(x+1))^2=1
2x+3-2(√(2x^2+5x+3))+x+1=1
3x+4-2(√(2x^2 )+5x+3)=1
-2√(2x^2+5x+3)=1-3x-4
(-2√(2x^2+5x+3))^2=(-3-3x)^2
4(2x^2+5x+3)=(-3)^2-2(-3)(3x)+(3x)^2

8x^2+20x+12=9+18x+9x^2
8x^2+20x+12-9-18x-9x^2=0
-x^2+2x+3=0
x^2-2x-3=0
(x+1)(x-3)=0
x+1=0      x-3=0
x1=-1     x2=3

*Este último ejemplo es un poco más complicado, pero utilizamos el mismo procedimiento. Comenzamos elevando al cuadrado en ambos lados de la igualdad, resolvemos el binomio al cuadrado y al otro lado de la igualdad resolvemos 1^2 que es igual a 1. Queda un radical, así que unimos términos semejantes y los movemos al otro lado de la igualdad, dejando el radical solo. Unimos términos semejantes y nuevamente elevamos al cuadrado en ambos lados de la ecuación. De esta manera queda eliminado el radical, resolvemos e igualamos a 0. Unimos términos semejantes y utilizamos el método de factorización para obtener el conjunto solución.

Verificación 

√(2x+3)-√(x+1)=1 

√(2(-1)+3)-√((-1)+1=1)
1-0=1
1=1
Cierta

√(2x+3)-√(x+1)=1
√(2(3)+3)-√((3)+1=1)
3-2=1
1=1
Cierta

*El proceso de verificación es el mismo, sustituimos a X por sus valores y resolvemos para probar si la ecuación es cierta o extraña. En este caso ambas son ciertas.

Ecuaciones Cuadraticas ~

El dia de hoy estuvimos discutiendo las Ecuaciones Cuadraticas. Como ya habiamos estudiado, hay varias maneras para resolver las ecacuaciones cuadraticas. Estas son Factorizacion, Completando el cuadrado, Formula Cuadratica y Raiz Cuadrada. En la clase de hoy le dimos mas enfasis a cada una de ellas. Como ya sabemos la formula cuadratica es la siguiente:

Se sustituye cada numero en la ecuacion por su correspondiente en a formula. Al final se consigue el conjunto solucion. Para completar por el cuadrado se pasan las variables a un lado de la ecuacion y los numeros enteros al otro lado, sumando a cada lado de la igualdad lo siguiente:

Al igual que la formula cuadratica, se sustituyen las variables de la formula por su correspondiente en la ecuacion. Al final dse debe determinar el conjunto solucion. Al factorizar se pasan todos los numeros a un lado de la igualdad dejando al 0 solamente al otro lado. Al final tendras al lado izquierdo de la igualdad lo siguiente:
 un numero con una variable elevada a su potencia "2", luego un numero entero acompanado por una variable y por ultimo, un numero entero solo. Se deben factorizar en dos parentesis de manera que al resolverse, su resultado sea la misma ecauacion que se factorizo principalmente. Al finalizar el ejercicio se debe determinar el conjunto solucion de X.

Al resolver por raiz cuadrada, se debe simplificar lo mas posible a ambos lados de la ecuacion hasta que se pueda resolver facilmente por su raiz cuadrada. Se debe poner el radical a ambos lados de la ecuacion siempre y resolver lo mas posible. Al igual que las demas formulas, se debe conseguir el conjunto solucion al final del ejercicio.

Ejemplo de Factorizacion:
x ²  + 5x = 24
x ²  + 5x - 24 = 0
(x - 3) (x + 8) = 0
x1= 3 | x2= -8

Ejemplo de Completar Por Cuadrado:
x ²  + 5x = 24
x ²  + 5x + (5/2) ²  = 24 + (5/2)²
x ^{2 + 5x + 25/4 = 24 + 25/4
(x + 5/2) (x + 5/2) = 96+25/4}
(x + 5/2)^{2 = 121/4} 
* se utiliza el radical a ambos lados *
x + 5/2 = 11/2
* se saca el conjunto solucion *

x1 = -5/2 + 11/2
x1 = 3
x2 = -5/2 - 11/2
x2 = -8

Ecuaciones Lineales :)

En la clase del viernes, Mr. Lopez repaso un poco mas sobre las Ecuaciones Lineales (formulas), como dejar las x sola mediante ecuaciones con mas de una variable. Por ejemplo:

1) a (x + b) + x (b - a) = 2b (2a - x)

ax + ab+ xb - ax = 4ba - ab

xb + 2bx = 4ba - ab 

x(3b) / 3b = 3ba / 3b

x = a

En este ejemplo, lo primero que se hace es multiplicar por propiedad distrbutiva. Segundo, vas a agrupar los terminos semejantes. Tercero, sacas x como factor comun a un lado de la ecuacion y divides por 3b en ambos lados. Para concluir, 3b se cancela en ambos lados y queda x = a. 

2) (m/n + n/m) = (n/x + 1) 

mx (m/n + n/m) = (nx + 1) mx

m^2 + xn = mn + xm

xn - xm = mn - m^2

x (n-m) / n-m = m(n-m) / n-m

x = m

Aqui en este ejercicio, se multiplica por el denominador comun en ambos lados para cancelar la variable en el denominador de la ecuacion. Despues, unes los terminos semejantes para entonces en un lado de la ecuacion, sacas x como factor comun y en el otro lado de la ecuacion, sacas m como factor comun. Divides a ambos lados por n-m para dejar las x sola. El resultado final seria x = m.

Ecuaciones lineales con una variable :))

En el dia de hoy el Sr. López nos repasó un poco sobre las ecuaciones lineales y varios ejemplos de distintos casos. Algunos ejemplos discutidos:
           
         1.           (8x-2)(3x+4) = (4x+3)(6x-1)
                        24^2  + 32x - 6x - 8 = 24x^2 - 4x + 18x - 3
                               26x - 8 = 14x - 3
                            26x - 14x = 8 - 3
                               12x / 12  = 5 / 12
                                            x = 5/ 12
* En este ejemplo lo primero que debemos de hacer es simplificar la ecuación dada.  Eso significa
   eliminar paréntesis, unir términos semejantes, aplicando las leyes de exponentes, las reglas de los signos,
   etc.


         2.          1/2x + 5/3 = 2/3x - 5/4        
                   12  ( 1/2x + 5/3 ) = ( 2/3x - 5/4 ) 12
                                  6x + 20 = 8x - 15
                                  20 + 15 = 8x - 6x
                                       35/2 = 2x/2
                                             x = 35/2
* En este caso se multiplico por el mínimo común denominador (12) en ambos lados, para eliminar los   denominadores. Este ejercicio también se puede hacer pasando las variables a un lado y las constantes al otro, buscando el denominador común para entonces unir los términos semejantes y luego despejar la variable.


         3.      2/5 + 4/ ( 10x + 5 ) = 7/ ( 2x + 1 )
                5(2x + 1)  [ 2/5 + 4/ 5 ( 2x+1 ) ] = [ 7/ ( 2x + 1 ) ] 5(2x + 1)
                  2(2x + 1) + 4 = 7 (5)
                       4x + 2 + 4 = 35
                              4x + 6 = 35
                                     4x = 35- 6
                                   4x/4 = 29/4
                                         x = 29/4
* Aqui podemos observar que para eliminar los deminadores, tuvimos que buscar el minimo comun denominador aplicando destrezas aprendidas como factorizacion de polinomios.


         4.                                3/(2x + 5) + 4/(2x - 5) = (14x + 3)/(4x^2 - 25)
                                            3/(2x + 5) + 4/(2x - 5) = (14x + 3)/[(2x + 5)(2x - 5)]
               (2x + 5)(2x - 5)  [ 3/(2x + 5) + 4/(2x - 5) ] =  (2x + 5)(2x - 5) { (14x + 3)/[(2x + 5)(2x - 5)]}
                                               3(2x - 5) + 4(2x + 5) =   14x + 3
                                                   6x - 15 + 8x + 20  =   14x + 3
                                                                    14x + 5 = 14x + 3
                                                                 14x - 14x = 3 - 5
                                                                              0 = -2      NO TIENE SOLUCION


*  Este ejercicio no tiene solución ya que la variable se eliminó y quedó un enunciado o una expresión falsa.





               

                   
   

Biografia de Blaise Pascal

BLAISE PASCAL
(19/06/1623 - 19/08/1662)
BIOGRAFÍA:

Nació en Clermont, Francia y murió en París.

Pertenecía a una familia noble de Auvernia, que tuvo 4 hijos, él era el único varón.  Su madre murió cuando él tenía 3 años.  Su padre, Etienne Pascal, le enseñó gramática, latín, español y matemáticas.  No quería que Blaise, fuera matemático y le prohibió que se dedicara a ello.  De modo que se puso a estudiar matemáticas por su cuenta y a los 12 años ya había descubierto que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º. Cuando su padre lo descubrió le ayudó dándole un tratado escrito por Euclides y permitiendo que le acompañara a las reuniones de Mersenne.

A la edad de 16 años Pascal presentó, en una reunión con Mersenne, un trozo de papel. Contenía un número de teoremas de geometría proyectiva, incluyendo incluso el hexágono místico de Pascal.

Cuando tenía 20 años, su padre fue trasladado a Rouen como recaudador de impuestos y para ayudarle en su trabajo, Blaise ideó una máquina de calcular que fue perfeccionada más tarde por otro matemático.

En 1646, su padre se rompió una pierna y fue curado por dos hermanos de un movimiento religioso, el jansenismo,  que influyeron notablemente en Blaise. Y en 1654 se retiró a la Abadía de Por-Royal.  Tanto es así, que se convirtió a esta doctrina y atacó a los jesuitas, intentando dar una explicación racional a la existencia de Dios.

Los últimos años de su vida los dedicó a los pobres y a recorrer las iglesias de París escuchando todos los servicios religiosos que podía.

En la última etapa de su vida se inclinó por la intuición como fuente de todas las verdades. Estuvo muy influenciado por su hermana Jacqueline

Su último trabajo fue el cicloide, la curva trazada por un punto en la circunferencia de un rollo circular.

Murió a los 39 años, después de sufrir mucho debido a un cáncer de estómago, mal que padecía desde muy joven y que al pasar los años fue creciendo, alcanzando incluido al cerebro.

PRINCIPALES APORTACIONES A LAS MATEMÁTICAS:

• El triángulo de Pascal.
• Teoremas de geometría proyectiva.
• El hexágono místico de Pascal.
• Inventó la primera máquina digital de calcular.
• Demostró la existencia del vacío.
• Observó que la presión atmosférica disminuye con la altura.
• Escribió las leyes de la presión, confirmando los experimentos de Torricelli.
• Es, junto con Fermat, el fundador de la teoría de la probabilidad.
• Abordó la definición y cálculo de la derivada e integral definida.
• Iniciador de la teoría de juegos.

Division de Numeros Complejos

En el dia de hoy en el curso de Pre-Calculo trabajamos la division de numeros complejos. La formula es a+bi sobre c+di. Para hacer esto comenzamos multiplicando por el conjugado del denominador al numerador y al denominador. Luego utilizamos la propiedad distributiva en el numerador y nos quedará una diferencia de cuadrados en el denomiador. Para finalizar sumamos y restamos hasta tener un resultado simple. Por ejemplo:
 1)   -1+5i
        3+2i 

-1+5i x  3-2i 
 3+2i     3-2i
-3 + 17i+10 
       9+4
      7+17i 
        13
   7  +  17i 
  13      13

* Es importante recordar que para dar el resultado final hay que separar el numero real del numero imaginario y simplificar lo mejor posible.

2)  4 + √-81
     7 - √-64
 4 + 9i  -  7 + 8i  
 7 - 8i      7 + 8i
 28 + 32i + 63i + 72i ² 
( 7 )² + ( 8i )² 
 28 + 95i - 72 
     49 + 64
 -44 + 95i 
     113
-44  +  95i
113    113

* Recordar que una raiz cuadrada negativa es un numero imaginario por lo tanto se resuelve y se le pone la "i".

El día de hoy el Sr. López estuvo hablando sobre los Números Complejos Estos números tienen la forma a+bi donde a y b son números reales. El número real a es llamado parte real del numero a+bi y el número real b es la parte imaginaria de a+bi. 
                      a+bi 
                      ↙ ↘
    parte real parte imaginaria 
En la suma y resta de números complejos (a+bi)+(c+di) unimos términos semejantes y se suman como normalmente lo hacemos en las ecuaciones con variables (a+c)+(bi+di), luego resolvemos (a+c)+(b+d)i.
Ejemplo: (2+3i)+(5+7i)
=(2+5)+(3i+7i)
=7+10i
En la multiplicación de números complejos se utiliza la propiedad distributiva(a+bi)(c+di). En algunos casos en que haya un número imaginario elevado al cuadrado(ac+adi+cbi+bdi^2) el i^2 se sustituye por su potencia[ac+adi+cbi+bd(-1) ], luego se unen términos semejantes (ac-bd)+(adi+cbi) y finalmente se resuelve (ac-bd)+(ad+cb)i.
Ejemplo:(3+2i)(5+3i)
=15+9i+10i+6i^2
=15+9i+10i+6(-1)
=15+19i-6
=9+19i

Primera Entrada del Blog (wiii)

14/agosto/2012
En el dia de hoy en la clase de pre-calculo con el Sr. Lopez comenzamos un tema nuevo y un pequeno repaso del material del ano escolar del grado 11. El tema discutido lo fue Sistema Numerico. Este trataba de los numeros reales e imaginarios. Los numeros reales son los que se pueden representar como un punto en una recta numerica ya sean numeros naturales, cardinales, racionales, irracionales y enteros, como ya habia sido estudiado en el curso pasado. Los numeros imaginarios son los que se representan con la variable, o el simbolo "i". La "i" tiene muchas potencias, las cuales dependen de el numero que se encuentre en el lugar del exponente. Cuando la potencia es impar el resultado es i o -i, pero cuando la potencia es par el resultado es 1 o -1. Si el exponente es un numero negativo, se utiliza la tecnica de reciproco.