Ceros Complejos de Funciones Polinómicas

- Un número complejo r es un cero (complejo) de una función compleja ƒ si ƒ(r)= 0.

Teorema Fundamental del Algebra

- Toda función polinómica ƒ(x) de grado n≥1 tiene al menos un cero en el conjunto de números complejos.


Teorema de Factorización

- Toda función polinómica compleja ƒ(x) de grado n≥1 se puede factorizar en n factores lineales (no necesariamene distintos) de la forma :
                                                      ƒ(x)= a_n(x-r₁)(x-r₂)…(x-r_n) donde a_n, r₁, r₂… r_n   son números complejos y  r₁, r₂… r_n son los ceros de ƒ(x)


EJEMPLO:




 

Posibles Ceros: 1, -1, 3, -3

f(x) = (x-3)(x-i)(x+1)

    

Ceros Reales de un Polinomio

Teorema del número de ceros

Una funcion polinomica no puede tener un numero de ceros mayor que su grado.

Teorema: Regla de Descartes para los signos

Sea f(x) una funcion polinomica . El numero de ceros reales positivos de f(x)  es igual al numero de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(x) o igual al numero de variaciones menos un numero natural par.

El numero de ceros reales negativos de f(x) es igual al numero de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(-x) o igual al numero de variaciones menos un numero natural par.

Teorema de Ceros Racionales

Si el polinomio P(x) tiene coeficientes enteros, entonces todo cero raciones de P es la forma P/Q
donde:
 P es un factor del coeficiente constante
q es un factor del coeficiente principal

Ej: f(x)= 2x³+x²-13x+6

Posibles ceros: Factores -12 =
                           Factores 1
 





Posibles ceros :

f(x)= (x-1)²(x-2)²(x+3)

Teorema del Factor

El pasado 11 de enero continuamos con la división sintética, pero en este caso estuvimos discutiendo el Teorema del Factor:

El binomio (x-c) es un factor de la función polinomica f(x) si y solo si f(c)=0.

Si c es un cero del polinomio entonces x-c es un factor, es decir, cada cero genera un factor y cada factor un cero.

Ejemplos

1) Si 2 y -3 son dos ceros de la función f(x). Factorice completamente la función f(x).

Utilizamos la división sintética, primero colocamos los coeficientes del polinomio dentro de la casita y luego colocamos el 2 que es una constante dada y que no cambia de signo fuera de ella. Resolvemos y hemos comprobado que el 2 es un cero de la función. Utilizando el mismo resultado continuamos dividiendo  en este caso colocando afuera el -3, resolvemos y comprobamos que también es un cero.

Con el resultado vamos a encontrar los otros dos ceros restantes por medio de factorizacion.

Ya tenemos los cuatro ceros de la funcion:

Division Sintetica (10/enero/2013)

La division sintetica es un procedimiento matemático utilizado para dividir polinomios entre binomios. Es una abreviación de la división larga, solo se usan los coeficientes para hacer la división.

Ejemplo:

9x³ - 18x² - 16x + 32 / (x – 2)

Primero, se organizan los polinomios desde el grado mayor al menor. Luego se acomodan los coeficientes del polinomio en un “casita” de división (esta se encontrara alreves) y afuera de la casita se coloca la constante con su signo opuesto, de esta manera:

Luego se baja el primer coeficiente y se comienza a multiplicar la constante por ese numero. El resultado se coloca justo abajo del numero siguiente en la fila de coeficientes. Esto se suma, y el resultado se coloca en la parte de abajo de la casita en el lugar que le corresponde. Se repite el paso de multiplicar el cociente.

El residuo es el ultimo numero que cae en el resultado. En este caso, el residuo es 0.

Funciones Polinomiales/9-enero-2013

En la clase del 9 de enero, fuimos un poco mas a fondo con las Funciones Polinomiales. Vimos las reglas de como resolverlas que son las siguientes:

1) Ceros: factorizar para hallar todos los ceros reales.
2) Puntos de Prueba: hacer una tabla de valores.
3) Comportamiento extremo: determinamos el comportamiento usando una tabla de signos (intervalos, evaluar la funcion, etc.)
4) Grafica: bosquejar la grafica con una curva lisa.

Ejemplo:

Ceros:

"x sub 1" = 0, "x sub 2" = -1, "x sub 3" =3.

Tabla de Valores:

Para que la grafica quede mas exacta, podemos anadir puntos adicionales.
Un punto adicional para este ejercicio seria: x= -1.5, y= -3.4

Comportamiento extremo:

El cuarto paso seria graficar los puntos. Siempre debemos recordar que la curva debe ser lisa y que debemos bosquejar todos los puntos (los de la tabla de valores, los ceros, los del comportamiento extremo, etc.)

Funciones Polinomiales y sus Gráficas

Ayer 8 de enero empezamos con el nuevo tema de funciones polinomiales y sus gráficas. Esta vez vamos a trabajar con funciones de grado 3 o más y asi identificarlas en la gráfica. Un polinomio es una expresión algebraica que puede tener uno o mas terminos basado en una variable, como por ejemplo en x, en donde los exponentes de la x sean enteros positivos.

La estructura básica de un polinomio es expresada de forma: 

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … a₁x¹ + a₀

Donde a_0, a_1, a_{2 ...} a_n son los coeficientes de los términos.  El grado de un polinomio es n, que representa el exponente mayor.

Una función polinomial P esta basado en un polinomio y su ecuación general es:
P(x)= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 + … a₁x¹ + a₀

Para dibujar la gráfica de un grado polinomial mayor que 3 es necesario conseguir los ceros de la función que son los puntos donde la gráfica corta al eje x.

Por ejemplo:
f(x) = x³ - x

f(x) = x(x²-1)

f(x) = x (x+1)(x-1)

x=0 ; x=-1;  x=1

Gráficas Polinomiales

La grafica de la función polinomial de grado 0 y de grado 1 son lineales. Las gráficas de un polinomios de grado 2 son parábolas. Mientras mayor es el grado del polinomio  mas complicado es para construir su gráfica. La gráfica de todo grado polinomial es una curva lisa, es decir, es continua, sin orificios  ni se paracion de sus partes.

Por ejemplo:

                                                             Gráfica no continua

                                                                  Gráfica continua

Entre las funciones que hemos estudiado la que mejor muestra un ejemplo de una función no continua es la funcion racional. El dominio de las funciones polinomiales son todos los numeros reales por lo tanto ellas son continuas en todo su dominio.