jueves, 27 de septiembre de 2012

Cociente Diferencial


Blog del 25 de Sept.
El dia de hoy repasamos un poco la Evaluacion de Funciones. Luego Mr. Lopez comenzo a explicar el Cociente Diferencial, una adicion al tema. La cociente diferencial es una expression especial en el calculo. La formula de esta es:

f (x + h) – f (x)
_________
h



Al saber esto, el maestro nos da una ecuacion cuadratica, la cual sustituiriamos con la formula de cociente diferencial. Como por ejemplo, la siguiente escucacion:

f (x) = x² - 3x + 2

al tener estos datos, recordamos la ecuacion original del cociente diferencial y sustituimos de esta manera:

miércoles, 26 de septiembre de 2012

Continuacion de Funciones/Evaluacion de Funciones

El dia del 24 de septiembre de 2012 fue continuacion del 21 de septiembre. Hablamos un poco mas de las funciones. Un detalle es como expresarlo. Se puede leer como "f de x" o "f en x".

Tambien entramos al tema de la Evaluacion de Funciones. Se puede definir que f de x representa el valor que esas para sustituir para x en la ecuacion.

Un ejemplo de la evaluacion de funciones es:



Aqui lo que hacemos es sustituir x en cada funcion por el valor dado en la tabla.

No necesariamente siempre usamos la tabla de valores. Pueden ser ecuaciones, cuadraticas, radicales, fracciones, etc.

Por ejemplo:

Como vemos en el ejemplo de arriba, la variable independiente (x) se puede sustituir por un numero, un numero negativo, fraccion, entre otros.

René Descartes & Pierre de Fermat

RENE DESCARTES 

Filósofo, matemático y científico francés. Desarrolló una breve carrera militar, que abandonó para dedicarse a la filosofía, disciplina en la que se desempeñó toda su vida. Dejó un legado extraordinario, al haber creado el método deductivo y la geometría analítica, entre otras cosas. También fue el fundador del racionalismo, y logró influenciar a las generaciones posteriores. Su obra más conocida es "Discurso del método" (1937).
Abrir la mente
Nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, Turena (Francia). Se crió en el seno de una familia de la baja nobleza, siendo el tercer hijo de Joaquín Descartes -jurista- y de Jeanne Brochard -quien murió cuando él tenía un año-.
Se formó en el colegio de jesuitas de La Flèche, entre 1606 y 1614, donde estudió la ciencia y la filosofía de su tiempo. Luego inició sus estudios de derecho en la universidad de Poitiers. En 1618 comenzó a servir como voluntario en el ejército de Mauricio de Nassau, príncipe de Orange, y en 1619 en el del duque de Baviera. Pero abandonó su carrera militar para adentrarse a la filosofía, su nueva vocación.
En 1628 viajó a Holanda, donde vivió hasta 1649. De ahí se fue a Suecia, donde fue llamado por la Reina Cristina, una gran admiradora suya. Allí murió a los pocos meses, el 11 de febrero de 1650, víctima de una afección pulmonar. Su cuerpo fue trasladado a París en 1666.
Descartes ha dejado un legado extraordinario. Fue el padre del mecanicismo, aplicó las matemáticas a las ciencias y a la filosofía. También creó el método deductivo, la geometría analítica y, entre otras cosas, introdujo un sistema de coordenadas, llamadas cartesianas en su honor.
Además fue el fundador del racionalismo. Logró influenciar en las generaciones posteriores, debido a que su obra marcó un antes y un después en la historia del pensamiento, consiguiendo dejar el camino abierto hacia una concepción moderna del mundo.
Con su célebre frase "pienso, luego existo", afirmaba como verdad evidente la existencia del propio yo, certeza sobre la que basó toda su obra. Descartes fue considerado el filósofo de la duda porque pensaba que, dentro de la investigación, había que rehusarse a confirmar todo aquello de lo que fuera posible dudar racionalmente.
Entre sus principales escritos se destacan: "Discurso del método" (1637), acompañada de tres pequeños tratados: "Dióptrica", "Meteoros" y "Geometría"; "Meditaciones metafísicas" (1641), "Principios de la filosofía" (1644), "Tratado de las pasiones (1649), "Tratado del hombre y de la formación del feto (1668) y "Reglas para la dirección del espíritu" (1701).
En definitiva, Descartes es considerado el padre de la filosofía moderna. De hecho los principales filósofos que lo sucedieron se han dedicado a estudiar sus teorías, tanto para desarrollar sus resultados como para refutarlo.  

PIERRE DE FERMAT


(Beaumont, Francia, 1601 - Castres, id., 1665) Matemático francés. Poco se conoce de sus primeros años, excepto que estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas.

Diseñó también un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica, amén de trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad.
Otro campo en el que realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto; precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el célebre teorema que lleva su nombre y que tardaría más de tres siglos en demostrarse. De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los números primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas.
Desarrolló también un ingenioso método de demostración que denominó «del descenso infinito». Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (sólo publicó una obra científica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra.

martes, 25 de septiembre de 2012

Relaciones y Funciones

Relación:

  • una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos
  • es cualquier conjunto de pares ordenados de numeros
                        EJ: { (1,2) , (3,5) , (-1,0) }

  • en cada pareja el primer valor es la X y el segundo es la Y 


Ejemplos de Relaciones :

- la distancia depende del tiempo en la relacion d = vt
- la siguiente tabla representa una relacion entre 4 libros y el precio correspondiente





             * El libro depende del precio ya que el precio es el que cambia.


-las Relaciones se pueden representar en tablas, como por ejemplo:




Función:

  • Sean X y Y dos conjuntos no vacios, una funcion de X a Y es una relacion en la cual a cada elemento del conjunto X le corresponde un unico elemento de Y, en otras palabras, es un conjunto de pares ordenados de (x,y) en el cual no existes 2 pares ordenados que tengan el mismo valor de X con distintos valores de Y.
  •  Las relaciones expresadas en tablas del ejemplo anterior son ejemplos de funciones ademas de relaciones.

Ejemplos de Funciones:






* Sin embargo el siguiente es un ejemplo de una relacion que no es funcion :






lunes, 24 de septiembre de 2012

Circunferencia

        Durante el 19 de septiembre estuvimos trabajando en clase la circunferencia de un circulo. La ecuacion estandar de la circunferencia con centro (h,k) y radio r es (x-h)² + (y-k)² = r²
Debemos determinar la ecuacion de la circunferencia cuyos puntos son: P(1,8) y Q(5,-6) son los extremos de un diametro.

Paso 1: Sacar el punto medio.
















Paso 2: Luego sacamos el valor del radio.


r² = (x-h)² + (y-k)² 
r² = (1-3)² + (8-1)²
r² = (-2)² + (7)²
r² = 4 + 49
r² = 53


Paso 3: Sacar la ecuacion de la circunferencia.

(x-3)2+ (y-1)2=53
x2-6x+9+y2-2y+1=53
x2-6x+y2-2y=53-9-1
x2-6x+y2-2y=43
y2-2y = 43 - x2+6x





jueves, 20 de septiembre de 2012

Funciones y sus aplicaciones



El 18 de septiembre, continuamos hablando acerca de la distancia entre dos puntos, entramos al tema del Punto Medio y al final tocamos un poco el Teorema de Pitágoras.  

*Para este ejercicio, te dan las coordenadas A(-3,6) y B(5,1).

Gráficas y trazas una linea entre los dos puntos.


- Buscamos la distancia entre ambos puntos, utilizando su respectiva formula:

-Ahora, buscaremos el Punto Medio entre ambas coordenadas utilizando la siguiente formula:
*En este ejercicio vamos a demostrar que un triangulo es un rectángulo

(a) Localizar las coordenadas A(-1,-3), B(6,1), C(2,-5) y probar que el triangulo ABC es un triangulo rectángulo.

Graficamos:


Buscamos la distancia entre los puntos de sus tres lados:
El lado mas largo es AB, este seria la hipotenusa. Mientras que los lados AC y BC serian los catetos. Ahora utilizaremos el Teorema de Pitágoras  para comprobar si la suma de los catetos AC y BC es igual a su hipotenusa AB, lo que lo haría un triangulo rectángulo.
Ha sido comprobado que el triangulo ABC es un triangulo rectángulo.

(b) Buscar el área del triangulo rectángulo












lunes, 17 de septiembre de 2012

Inecuaciones Racionales.

Los dias del 11 y 12 de septiembre, comenzamos con el tema de inecuaciones racionales. Las inecuaciones racionales son definidas como aquellas que se forman como el cociente de dos polinomios. Es practicamente lo mismo que las inecuaciones cuadraticas pero con fracciones. 

Se escoge el simbolo de + por la desigualdad del ejercicio que en este caso es mayor o igual.
Despues se pone el conjunto solución que es [0, 1).
0 ≤ x < 1


*El 1 no se incluye ya que si lo sustituyes por la x, queda el 0 como denominador. El 0 no esta definido cuando este en el denominador.
 




Plano Cartesiano y Formula de Distancia

El dia de hoy comenzamos explicando el plano cartesiano y sus diferentes partes y funciones. El plano es este:

Dijimos sobre este que el eje de x se encuentra horizontalmente y el eje de y verticalmente. La variable x es independiente y se le llama "abscisa", mientras que a la y se le llama "ordenada" y es una variable dependiente. Las coordenadas se ubican en puntos en el plano cartesiano. Por ejemplo, un ejercicio que te da las coordenadas (-4,3) y (2,4) se graficaria de esta manera:

Si se quiere buscar la distancia entre esos dos puntos se debe primero trazar una linea desde un punto a otro. Luego se utiliza la formula de distancia que es la siguiente:
Al sustituirse los valores, se resuelve de esta manera:


jueves, 13 de septiembre de 2012

Inecuaciones lineales y cuadraticas

      En la clase del 7 de septiembre repasamos como resolver desigualdades lineales tales como:

               3x - 5  >  7             Similar a una ecuacion lineal despejamos
                    3x  >  12            la variable.   (Tenemos que recordar que
                      x  >  4              si dividimos o multiplicamos por un
                                              coeficiente negativo, la desigualdad
                                              cambia)  Luego se hace la grafica y se
                                              presenta la solucion en notacion de
                     [4, inf   )           intervalo.




           - 7 <  2x - 5 < 8         En este ejemplo dejamos la variable sola
                -2 <  2x < 13        en el centro haciendo las operaciones
                 -1 <  x  < 13/2     correspondientes en  los tres lados.


                  [-1 , 13/2 )         Este es el intervalo.



Veamos ahora una desigualdad o inecuacion cuadratica:

           X^2 - 5X + 6 < 0                     Pasos:
                                                           *  Pasar todos los terminos  a un
                                                               lado de la desigualdad y dejar
                                                               cero en el otro.
            (x-3)(x-2)  <  0                       *  Factorizar
                                                           *  Determinar los intervalos
                                                           *  Completar la tabla de signos
                                                           *   Presentar la solucion
         Veamos la tabla:



     Intervalos               (-inf , 2]           [2 , 3]          [3 , inf)
 _______________________________________________
         (x-3)                         -                     -                    +
          (x-2)                        -                     +                   +
         (x-3)(x-2)                 +                                       +  

   La  solucion es  2 < X <  3       en  intervalo  [2 , 3]

Nota:  Para determinar la solucion, en la primera  columna que tiene los signos en rojo, al multiplicar los dos signos negativos el producto es positivo. En la proxima el producto es negativo y en la ultima es positivo.  La solucion tiene que ser negativa porque  la inecuacion   (x-3)(x-2)  <  0  implica que el producto de esos dos factores tiene que ser menor  o igual a cero y eso significa ser negativo o cero.