Funciones Racionales

Una función racional es una función en forma







donde Q(x) no es igual a 0.

Ejemplos:

Asintotas de las Funciones Racionales

1)Asintotas Verticales, estas son las rectas x=a donde a es un 0 en el denominador.

2) Asintotas Horizontales

  

       a) si n<m, entonces R(x) tiene asintota horizontal, y=0.

       b)si n=m, entonces R(x) tiene asintota horizontal, y= an/bm.

       c)si n>m,entonces R(x) no tiene asintora horizontal, si no oblicua.

Ejemplo 1:

A)Asintota Vertical 

*Para sacar la asintota vertical tomamos el denominador y lo igualamos a 0, dejamos la x sola y asi obtenemos el valor de la asintota.

B) Asintota Horizontal

C)Intercepto en y (x=0)  y= (0,1/2)

D)Intercepto en x (y=0) x =(1,0)

* Igualamos la función a 0 y resolvemos para X.

E) Tabla de Valores

* Dejándonos llevar por los intervalos buscamos la tabla de valores.

F) Grafica

Funciones Racionales(Asintota Oblicua)

A) Asintota Vertical









B) Asintota Oblicua

C) Intercepto en y (x=0)

D)Intercepto en x (y=0)

E) Tabla de Valores

Problemas de Aplicacion [13, 14 y 15/Noviembre/2012]

Problemas de Aplicacion
Estos son un tipo de problema verbal en el cual se busca lo que el maestro te pide. Tocamos dos tipos de problemas: Caida Libre y Area Maxima. Lo que vas a buscar depende de lo que se pide como: altura maxima, area maxima, tiempo de altura maxima, intercepto en x, y varias cosas mas.
Problemas de Area Maxima:
Se requiere construir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa. Se cuenta con un rollo de tela metalica de 1,000 m. Cual es el area maxima que podemos cercar?

Al saber que el perimetro es 1,000m se puede sustituir en la formula de perimetro: 

p = l x 2w

1,000 = l x 2w

(1,000 - 2w) = l

Ahora que se tiene la medida del largo, se sustituye en la formula del area:

a = lw

a = (1,000 - 2w)(w)

a = 1,000w -2w²

Este resultado se puede considerar una formula cuadratica. Entonces se sustituye en la formula de ancho:

w = -b/2a

w = -1,000/2(-2)

w = 250m

Nuevamente se sustituye en la formula de largo que ya estaba pendiente:

l = 1,000 - 2(250)

l = 500m

Ya que se tiene el largo y el ancho, se puede sustituir en la formula de area para conseguir esta:

a = lw

a = (500)(250)

a = 125,000m²

Ahora se contesta la pregunta que estaba al final del problema. El Area maxima que se puede cercar es 125,000m². 

Ahora pasamos a los ejercicios de Caida Libre:

A un tiempo cero (t = 0) un clavadista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg desde una pataforma que se encuentra en una altura de 32 pies sobre el agua. 

a) Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?

b) Cual es la altura maxima que alcanza el clavadista? h = s(t)

c) Cuando tiempo le toma alcanzar la altura maxima?

d) Cuando el clavadista toca el agua?

e) En que posicion se encontraba a los 1.5 segundos?

a) s(t) = -1/2gt² + Vot + So

s(t) = -1/2(32)t² + 16t + 32 

s(t) = -16t² + 16t + 32

La funcion de este ejercicio se consigue mediante sustitucion. La funcion original es la primera, donde "g" es la caida libre, "Vo" es la velocidad en que cae y "So" es la altura de donde cae. Cuando el ejercicio se trata de metros entre segundos, la "g" se reemplaza con 9.8 metros entre segundos. Cuando el ejercicio habla de una velocidad de pies entre segundos, se reemplaza "g" con 32pies. En este caso se habla de pies entre segundos, asi que se reemplaza la formula con 32 pies en "g". Luego, se multiplica -1/2 por la "g" y se termina con una ecuacion cuadratica, que juega el papel de la trayectoria del clavadista. Teniendo en cuenta esto, se comienzan a buscar los otros puntos que se piden, dejandose llevar por esta funcion.

b) s(t) = - 16(0.5)² + 16(0.5) + 32

= 36 pies

c) t = -b/2a

t = -16/2(-16)

t = 1/2

t = 0.5 segundos

En esta parte primero se consigue el tiempo de altura maxima reemplazando la formula de t = -b/2a utilizando la funcion del ejercicio. Luego, este tiempo se reemplaza en todas las "t" de la funcion para conseguir la altura maxima.

d) -16t² + 16t + 32 = 0

-16(t² - t - 2) = 0

(se divide entre -16 a ambos lados)

t² - t - 2 = 0

(t - 2) (t + 1) = 0

t = 2 segundos

Este paso se cosigue haciendo el intercepto en x. Luego de factorizar, se elige el tiempo mas alto. En este caso, los dos tiempos eran 2 segundos y -1 segundos. El -1 se descarta y se elige el 2 como el tiempo en que el clavadista toco el suelo.

e) s(1.5) = -16(1.5)² + 16(1.5) + 32

s(1.5) = 20 pies

Para conseguir la altura en que estaba el clavadista al tiempo que se desea saber, se reemplaza el tiempo en la funcion. Asi se consigue todo lo que se pide.

Funciones Cuadraticas (12-nov-2012)

La funcion f(x):

Hallar despues el vertice completando el cuadrado con la siguiente formula:

Ejemplo:

 

El vertice en este caso seria (-2,-11)

El vertice es la variable h y k.

 

 

 

 

Otro ejemplo: 

 





Aqui el vertice es (-5/4,-73/8)

Funciones Cuadraticas: Formula General (9/noviembre)

Para encontrar los puntos de una grafica podemos utilizar la fórmula general : ƒ(x)= ax²+ bx + c.

- Primero, identificamos los valores correspondientes a: a, b y c.

Por ejemplo:   

ƒ(x) = x²- 4x - 5

a =  1

b = -4

c = -5

- Con esta informacion conseguimos el vértice = (h,k) 

h = -b/2a                                  para buscar k evaluamos con ƒ(h)      *Una manera mas facil de conseguir k

h = -(-4)/2(1)                              ƒ(₂) = (2)²-4(2)-5                                                     4ac-b²/4a

h = 4/2                                              k = -9

h = 2

vértice = (2,-9)

- Concavicad: 

 La con cavidad te indica hacia donde se dirige la parábola (arriba o abajo). Todo depende de el coheficiente de la x que esta elevada al cuadrado. Si es positivo el coheficiente la parábola se dirigirá hacia arriba y si es negativo se dirige hacia abajo.

En este ejercicio el coheficiente es positivo por tal razon la concavidad de la parábola es hacia arriba.

- Eje de Simetría (x = h) :  x = 2

-Intercepto en y: (0,-5)

      (x= 0)                                    ƒ(0)= (0)²-4(0)-5 = -5

-Interceptos en x: (-1,0) ; (5,0)

      (y=0)                                     0= x²- 4x - 5 

                                                   (x+1)(x-5)=0

                                                    x₁=-1   |   x₂=5

- Finalmente sacamos la tabla de valores para colocar los puntos en la gráfica :

-Graficamos:

 

                                                                                                   

                   

Funciones Cuadraticas(7/8 nov.)

Una funcion cuadratica es una funcion que puede ser escrita de forma f(x)= a(x-h)² + k (a≠ 0)
La grafica de una funcion cuadrativa tiene forma de U y se conoce como parabola.

Forma Estandar: f(x)= a(x-h)² + k


Ejemplo : 2(x-3)²-4

A) Vertice: (3,-4)
B) Concavidad: a>0
C) Eje de Simetria: x=3
D) Intercepto en y(x=0) : (0,14) 

E)Intercepto en x(y=0): (4.41,0) (1.59,0)

F)Tabla de Valores
G) Grafica




Forma General: f(x)= ax² + bx + c

Ejemplo: f(x) = 4x - 5

A) Vertice:

B) Eje de Simetria: x=2
C)Concavidad: a>0
D) Intercepto en y(x=0): (0,-5)
E) Intercepto en x(y=0):
F) Tabla de Valores
G) Grafica

Gráfica de funciones definida por partes [22/Octubre/2012]

Una funcion por partes se define mediante formulas distintas partes de su dominio, la grafica de tal funcion consiste en trazos separados.

Ejemplo:

f(x)=  x²; x<1
         2x+1 ; x>1
f(x)=x²
 x y    
 1 1
 0 0
-1 1
-2 4
-3 9

f(x)= 2x+1
x y
1 3
2 5
3 7 
4 9
5 11

2)
f(x) =   -1 ; x < -1
           1 ; -1<x<1
          -1 ; x > 1

* Si es una constante, no es necesario hacer tabla de valores*


3) f(x)= 2-x ; x< 0
           9-x² ; 0<x<3
           x-3 ; x>3

f(x)=-x
 x y
 0 0
-1 1
-2 2
-3 3
-4 4

f(x)= 9-x²
x y
0 9
1 8
2 5
3 0

f(x)= x-3
x y
3 0
4 1
5 2
6 3

Funciones Inversas [1 y 5/Noviembre/2012]

Los días 1ro y 5 de noviembre estuvimos hablando acerca de las funciones inversas.Una función inversa
es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así  la inversa "deshace" o invierte lo que ha hecho la función.

Función Inversa

Función Uno a Uno

 *Una función con dominio A se llama función uno a uno, si no hay dos elementos de A que tengan el mismo Rango:

Ejemplos:

 *La función f es uno a uno mientras que la función g no lo es.  

* Esta función no es uno a uno, ya que para que si lo sea ninguna recta horizontal cruza su gráfica mas de una vez. En este caso:

Como hallar funciones inversas

Para hallarlas se deben de seguir los siguientes pasos:

1) Cambiar f(x) por y. 

2) Intercambiar la x por la y.

3)Despejar para y.

4) Decimos que el resultado sera la función inversa. "f inversa de x"

Composicion de Funciones [26/Octubre/2012]

Dadas dos funciones f  y g, la función compuesta (fog) denominada también la composición de f y g,  esta definida por:

(fog)(x) = f(g(x))

El dominio de fog es el conjunto de todas las x en el dominio g tal que g(x) esta en el dominio de f.

Ejemplos:

Dado: 

f(x)= x² 

g(x)= x-3

Dado:

f(x) = 2x + 5

g(x) = 2/x – 3

h(x) = x² + 4

Operaciones con funciones-24/octubre/2012

En la clase del 24 de octubre, comenzamos con un tema nuevo titulado: Operaciones con funciones.

En este tema estaremos trabajando con dos funciones: f y g. Se pueden combinar para crear nuevas funciones ya sean de suma, resta, multiplicación o división. Se hace la operación con números reales. Se definen de la siguiente manera:

1) f(x) + g(x)= (f+g)(x)
2) f(x) - g(x)= (f-g)(x)
3) f(x) x g(x)= (fg)(x)
4) f(x)/g(x)= f/g (x)

Un ejemplo:

a) f(x) = 2x-3   g(x)= x+4

1) (f+g)(x)
(2x-3) + (x+4)
3x+1

2) (f-g)(x)
(2x-3) - (x+4)
2x-3-x-4
x-7

3) (fg)(x)
(2x-3)(x+4)
2x^2 + 8x - 3x -12
2x^2 +5x - 12

4) f/g (x)
2x-3/x+4

Funciones Crecientes, Decrecientes y Constantes [23/octubre]

Funcion decreciente:
 - Una función es decreciente en un intervalo (I) dado, si  f(X₁) > f(X₂)   siempre que X₁ ˂  X₂ en I.

ejemplo:

Funcion Creciente:
-Una función es creciente en un intervalo (I) dado, si  f(X₁) ˂  f(X₂)   siempre que X₁ ˂  X₂ en I.

ejemplo:

Funcion Constante:
- Una función es constante en un intervalo (I) dado, si  f(X₁) =  f(X₂)   siempre que X₁ ˂   X₂ en I.

ejemplo:

* Hay gráficas multipartes que pueden definirse dentro de las 3 formas. Lo importante es saber identificar los intervalos del dominio donde una funcion es creciente, decreciente y constante.

Funciones Par e Impar

Este día se nos hablo acerca de las funciones pares e impares.

*Es par si f(-x)=f(x) para toda x en el dominio de f.
*Es impar si f(-x)=-f(x) para toda x en el dominio de f.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje de y.

Ejemplos:

     

* En este caso la función es par:

 * En este caso la función también es par:

* En este caso la función es impar:

Si se da el caso en que una función no es ni par o impar, entonces esta no tiene simetría.