Problemas de Aplicacion [13, 14 y 15/Noviembre/2012]

Problemas de Aplicacion
Estos son un tipo de problema verbal en el cual se busca lo que el maestro te pide. Tocamos dos tipos de problemas: Caida Libre y Area Maxima. Lo que vas a buscar depende de lo que se pide como: altura maxima, area maxima, tiempo de altura maxima, intercepto en x, y varias cosas mas.
Problemas de Area Maxima:
Se requiere construir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa. Se cuenta con un rollo de tela metalica de 1,000 m. Cual es el area maxima que podemos cercar?

Al saber que el perimetro es 1,000m se puede sustituir en la formula de perimetro: 

p = l x 2w

1,000 = l x 2w

(1,000 - 2w) = l

Ahora que se tiene la medida del largo, se sustituye en la formula del area:

a = lw

a = (1,000 - 2w)(w)

a = 1,000w -2w²

Este resultado se puede considerar una formula cuadratica. Entonces se sustituye en la formula de ancho:

w = -b/2a

w = -1,000/2(-2)

w = 250m

Nuevamente se sustituye en la formula de largo que ya estaba pendiente:

l = 1,000 - 2(250)

l = 500m

Ya que se tiene el largo y el ancho, se puede sustituir en la formula de area para conseguir esta:

a = lw

a = (500)(250)

a = 125,000m²

Ahora se contesta la pregunta que estaba al final del problema. El Area maxima que se puede cercar es 125,000m². 

Ahora pasamos a los ejercicios de Caida Libre:

A un tiempo cero (t = 0) un clavadista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg desde una pataforma que se encuentra en una altura de 32 pies sobre el agua. 

a) Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?

b) Cual es la altura maxima que alcanza el clavadista? h = s(t)

c) Cuando tiempo le toma alcanzar la altura maxima?

d) Cuando el clavadista toca el agua?

e) En que posicion se encontraba a los 1.5 segundos?

a) s(t) = -1/2gt² + Vot + So

s(t) = -1/2(32)t² + 16t + 32 

s(t) = -16t² + 16t + 32

La funcion de este ejercicio se consigue mediante sustitucion. La funcion original es la primera, donde "g" es la caida libre, "Vo" es la velocidad en que cae y "So" es la altura de donde cae. Cuando el ejercicio se trata de metros entre segundos, la "g" se reemplaza con 9.8 metros entre segundos. Cuando el ejercicio habla de una velocidad de pies entre segundos, se reemplaza "g" con 32pies. En este caso se habla de pies entre segundos, asi que se reemplaza la formula con 32 pies en "g". Luego, se multiplica -1/2 por la "g" y se termina con una ecuacion cuadratica, que juega el papel de la trayectoria del clavadista. Teniendo en cuenta esto, se comienzan a buscar los otros puntos que se piden, dejandose llevar por esta funcion.

b) s(t) = - 16(0.5)² + 16(0.5) + 32

= 36 pies

c) t = -b/2a

t = -16/2(-16)

t = 1/2

t = 0.5 segundos

En esta parte primero se consigue el tiempo de altura maxima reemplazando la formula de t = -b/2a utilizando la funcion del ejercicio. Luego, este tiempo se reemplaza en todas las "t" de la funcion para conseguir la altura maxima.

d) -16t² + 16t + 32 = 0

-16(t² - t - 2) = 0

(se divide entre -16 a ambos lados)

t² - t - 2 = 0

(t - 2) (t + 1) = 0

t = 2 segundos

Este paso se cosigue haciendo el intercepto en x. Luego de factorizar, se elige el tiempo mas alto. En este caso, los dos tiempos eran 2 segundos y -1 segundos. El -1 se descarta y se elige el 2 como el tiempo en que el clavadista toco el suelo.

e) s(1.5) = -16(1.5)² + 16(1.5) + 32

s(1.5) = 20 pies

Para conseguir la altura en que estaba el clavadista al tiempo que se desea saber, se reemplaza el tiempo en la funcion. Asi se consigue todo lo que se pide.