domingo, 21 de octubre de 2012

Continuacion de Trazado de Graficas/Reflexion de Graficas

En el dia del 11 de octubre, continuamos hablando sobre el trazado de graficas y a la vez, viendo mas ejemplos. Algunos son simples y otros son un poco mas complicados.

f(x)= 1/x+1 + 2

Esta grafica es una racional. Su dominio es: (-∞,-1) U (-1,∞) y su rango es: (-∞,2) U (2,∞)


f(x)= 1/x-3 - 5/2
 Esta grafica tambien es una racional. Su dominio es: (-∞,3) U (3,∞) y su rango es: (-∞,-5/2) U (-5/2,∞)

Tambien comenzamos tema nuevo: Reflexion de graficas. 

Aprendimos que para graficar y=f(x), la grafica de y=f(x) se refleja en el eje de x.  

Lo mismo para graficar y=f(-x) pero se refleja en el eje de y.



Vemos aqui unos ejemplos con ecuaciones.
Por ejemplo: tenemos la funcion: f(x)= x^2. Pues la funcion f(x)= -x^2 sera reflejado. Esto es un grafica cuadratica.
Ahora veremos la grafica cubica.
f(x)= x^3, f(x)= -x^3

lunes, 15 de octubre de 2012

Técnicas de trazado de gráficas

Para trazar gráficas de funciones con presición y corrección hay que entender las técnicas tanto el desplazamiento vertical como el desplazamiento horizontal. Estas técnicas nos facilita visualizar la trayectoria de las gráficas. Veamos como se analiza:


I. Desplazamiento Vertical: (esto significa traslado de la gráfica hacia arriba o hacia abajo)

f(x) = x²                                          f(x) = x²+3                                       f(x) =-3   




* Cada función parea con su color en la gráfica.

Comparando a f(x) = x² como función cuadrática básica con  f(x) = x²-3  y con f(x) = x²+3 vemos  el efecto de desplazamiento vertical provocado por el 3. Lo que significa que de la forma general f(x) = x²  , a f(x) = x²+c, si c > 0 se traslada C unidades hacia arriba; pero si la C < 0 entonces la traslacion es hacia abajo.



II. Desplazamiento Horizontal: Esto significa que la grafica se traslada hacia la izquierda o            a la derecha

         f(x) = x²                          f(x) = (x+3)²                               f(x) = (x-3)² 



Otro movimiento que tenemos que entender para poder construir gráficas correctamente es el la translación horizontal.

Si comparamos a f(x) = x² con  f(x) = (x+3)²  podemos observar que la gráfica de la 2da quedo trasladada  3 unidades a su izquierda; mientras que   f(x) = (x-3)²   se trasladó 3 unidades a la derecha. Aqui vemos que la funcion de la forma f(x) = (x+h)²  ocurre que si h > 0 entonces, se traslada hacia la izquierda y si h < 0 se traslada hacia la derecha, como si desobedeciera los signos.

Estos movimientos son aplicados a todas las funciones como:

  • función valor absoluto
  • función cúbica
  • función raíz cúbica





viernes, 12 de octubre de 2012

Gráfica y sus Traslaciones

     El 8 de octubre comenzamos a ver las funciones dentro de una grafica. Ademas del dominio, empezamos a encontrarle el rango a las funciones. El rango es por donde la gráfica pasa por el eje de y. Los tipos basicos de funciones que vimos fueron:


1) Funcion de identidad: es cuando y=x 

Ej:f(x)=x





Df=(-∞,∞)
Rf=(-∞,∞)


2)Funcion Lineal: es cuando y=mx+b

Ej: f(x)=2x+3





















Df=(-∞,∞)
Rf=(-∞,∞)


3)Funcion Cuadratica: es cuando y=x² 

f(x)=x² 






















Df=(-
∞,∞)
Rf=[-∞,∞)

4) Funcion Cubica: es cuando y=x³

f(x)=x³























Df=(-∞,∞)
Rf=(-∞,∞)


5) Funcion Valor Absoluto: es cuando y=|x|

f(x)=|x|

























Df=(-∞,∞)
Rf=[-∞,∞)

6) Funcion Raiz Cuadrada: es cuando y=√x

f(x)=√x


























Df=[-∞,∞)
Rf=[-∞,∞)

7) Funcion Racional: es cuando y= 1/x

f(x)= 1/x
























Df=(-
∞,0)U(0,∞)
Rf=(-∞,0)U(0,∞)

8)Funcion Raiz Cubica: es cuando y=³√x

f(x)= ³√x

























Df=(-∞,∞)
Rf=(-∞,∞)

9) Funcion Constante: es cuando y=b

f(x)=1
















Df=(-∞,∞)
Rf={b}

miércoles, 3 de octubre de 2012

Dominio de Funciones



En la clase del 26 septiembre comenzamos con un nuevo tema, el Dominio de Funciones. Este es un conjunto mayor de números reales, tales que el valor resultante f(x) es un numero real (conjunto de valores de x). En ocasiones no se especifica el dominio de una función, si no que la función aparece indicada por una ecuación en dos variables.

                               * En tales casos:


El Dominio de Función siempre sera igual a un numero real, por tal razón:
   
                              *No puede haber un 0 como denominador
                              *No puede haber un radical negativo

Ejemplos: 

 1)  En esta gráfica el Dominio de Función seria negativo infinito e infinito ya que la recta se extiende infinitamente en ambas direcciones.
2) En este caso en el Dominio de Función  X podría asumir cualquier numero entre negativo infinito e infinito.

3) Aquí se nos presenta una fracción, por lo tanto no puede haber un 0 como denominador.
Entonces: Que valores puede asumir X para que el denominador no sea 0?
La X asumir cualquier numero entre negativo infinito e infinito, con excepción de -3.
4) Aquí tenemos un radical y debido a que el Dominio de Funciones siempre dará a números reales, el radical no puede ser negativo.
Entonces: Que valor puede asumir X para que el radical no sea positivo?
 X puede asumir cualquier numero que sea mayor o igual que -9.








                






jueves, 27 de septiembre de 2012

Cociente Diferencial


Blog del 25 de Sept.
El dia de hoy repasamos un poco la Evaluacion de Funciones. Luego Mr. Lopez comenzo a explicar el Cociente Diferencial, una adicion al tema. La cociente diferencial es una expression especial en el calculo. La formula de esta es:

f (x + h) – f (x)
_________
h



Al saber esto, el maestro nos da una ecuacion cuadratica, la cual sustituiriamos con la formula de cociente diferencial. Como por ejemplo, la siguiente escucacion:

f (x) = x² - 3x + 2

al tener estos datos, recordamos la ecuacion original del cociente diferencial y sustituimos de esta manera:

miércoles, 26 de septiembre de 2012

Continuacion de Funciones/Evaluacion de Funciones

El dia del 24 de septiembre de 2012 fue continuacion del 21 de septiembre. Hablamos un poco mas de las funciones. Un detalle es como expresarlo. Se puede leer como "f de x" o "f en x".

Tambien entramos al tema de la Evaluacion de Funciones. Se puede definir que f de x representa el valor que esas para sustituir para x en la ecuacion.

Un ejemplo de la evaluacion de funciones es:



Aqui lo que hacemos es sustituir x en cada funcion por el valor dado en la tabla.

No necesariamente siempre usamos la tabla de valores. Pueden ser ecuaciones, cuadraticas, radicales, fracciones, etc.

Por ejemplo:

Como vemos en el ejemplo de arriba, la variable independiente (x) se puede sustituir por un numero, un numero negativo, fraccion, entre otros.

René Descartes & Pierre de Fermat

RENE DESCARTES 

Filósofo, matemático y científico francés. Desarrolló una breve carrera militar, que abandonó para dedicarse a la filosofía, disciplina en la que se desempeñó toda su vida. Dejó un legado extraordinario, al haber creado el método deductivo y la geometría analítica, entre otras cosas. También fue el fundador del racionalismo, y logró influenciar a las generaciones posteriores. Su obra más conocida es "Discurso del método" (1937).
Abrir la mente
Nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, Turena (Francia). Se crió en el seno de una familia de la baja nobleza, siendo el tercer hijo de Joaquín Descartes -jurista- y de Jeanne Brochard -quien murió cuando él tenía un año-.
Se formó en el colegio de jesuitas de La Flèche, entre 1606 y 1614, donde estudió la ciencia y la filosofía de su tiempo. Luego inició sus estudios de derecho en la universidad de Poitiers. En 1618 comenzó a servir como voluntario en el ejército de Mauricio de Nassau, príncipe de Orange, y en 1619 en el del duque de Baviera. Pero abandonó su carrera militar para adentrarse a la filosofía, su nueva vocación.
En 1628 viajó a Holanda, donde vivió hasta 1649. De ahí se fue a Suecia, donde fue llamado por la Reina Cristina, una gran admiradora suya. Allí murió a los pocos meses, el 11 de febrero de 1650, víctima de una afección pulmonar. Su cuerpo fue trasladado a París en 1666.
Descartes ha dejado un legado extraordinario. Fue el padre del mecanicismo, aplicó las matemáticas a las ciencias y a la filosofía. También creó el método deductivo, la geometría analítica y, entre otras cosas, introdujo un sistema de coordenadas, llamadas cartesianas en su honor.
Además fue el fundador del racionalismo. Logró influenciar en las generaciones posteriores, debido a que su obra marcó un antes y un después en la historia del pensamiento, consiguiendo dejar el camino abierto hacia una concepción moderna del mundo.
Con su célebre frase "pienso, luego existo", afirmaba como verdad evidente la existencia del propio yo, certeza sobre la que basó toda su obra. Descartes fue considerado el filósofo de la duda porque pensaba que, dentro de la investigación, había que rehusarse a confirmar todo aquello de lo que fuera posible dudar racionalmente.
Entre sus principales escritos se destacan: "Discurso del método" (1637), acompañada de tres pequeños tratados: "Dióptrica", "Meteoros" y "Geometría"; "Meditaciones metafísicas" (1641), "Principios de la filosofía" (1644), "Tratado de las pasiones (1649), "Tratado del hombre y de la formación del feto (1668) y "Reglas para la dirección del espíritu" (1701).
En definitiva, Descartes es considerado el padre de la filosofía moderna. De hecho los principales filósofos que lo sucedieron se han dedicado a estudiar sus teorías, tanto para desarrollar sus resultados como para refutarlo.  

PIERRE DE FERMAT


(Beaumont, Francia, 1601 - Castres, id., 1665) Matemático francés. Poco se conoce de sus primeros años, excepto que estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas.

Diseñó también un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica, amén de trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad.
Otro campo en el que realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto; precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el célebre teorema que lleva su nombre y que tardaría más de tres siglos en demostrarse. De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los números primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas.
Desarrolló también un ingenioso método de demostración que denominó «del descenso infinito». Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (sólo publicó una obra científica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra.