Relaciones y Funciones

Relación:

• una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos
• es cualquier conjunto de pares ordenados de numeros

                        EJ: { (1,2) , (3,5) , (-1,0) }

• en cada pareja el primer valor es la X y el segundo es la Y 

Ejemplos de Relaciones :

- la distancia depende del tiempo en la relacion d = vt
- la siguiente tabla representa una relacion entre 4 libros y el precio correspondiente

             * El libro depende del precio ya que el precio es el que cambia.


-las Relaciones se pueden representar en tablas, como por ejemplo:

Función:

• Sean X y Y dos conjuntos no vacios, una funcion de X a Y es una relacion en la cual a cada elemento del conjunto X le corresponde un unico elemento de Y, en otras palabras, es un conjunto de pares ordenados de (x,y) en el cual no existes 2 pares ordenados que tengan el mismo valor de X con distintos valores de Y.
•  Las relaciones expresadas en tablas del ejemplo anterior son ejemplos de funciones ademas de relaciones.

Ejemplos de Funciones:

* Sin embargo el siguiente es un ejemplo de una relacion que no es funcion :

Circunferencia

        Durante el 19 de septiembre estuvimos trabajando en clase la circunferencia de un circulo. La ecuacion estandar de la circunferencia con centro (h,k) y radio r es ^{(x-h)² + (y-k)² = r²}

Debemos determinar la ecuacion de la circunferencia cuyos puntos son: P(1,8) y Q(5,-6) son los extremos de un diametro.

Paso 1: Sacar el punto medio.

Paso 2: Luego sacamos el valor del radio.

r² = (x-h)² + (y-k)² 

r² = (1-3)² + (8-1)²

r² = (-2)² + (7)²

r² = 4 + 49

r² = 53

Paso 3: Sacar la ecuacion de la circunferencia.

(x-3)²+ (y-1)²=53
x²-6x+9+y²-2y+1=53
x²-6x+y²-2y=53-9-1
x²-6x+y²-2y=43

y²-2y = 43 - x²+6x

Funciones y sus aplicaciones

El 18 de septiembre, continuamos hablando acerca de la distancia entre dos puntos, entramos al tema del Punto Medio y al final tocamos un poco el Teorema de Pitágoras.  

*Para este ejercicio, te dan las coordenadas A(-3,6) y B(5,1).

Gráficas y trazas una linea entre los dos puntos.

- Buscamos la distancia entre ambos puntos, utilizando su respectiva formula:

-Ahora, buscaremos el Punto Medio entre ambas coordenadas utilizando la siguiente formula:

*En este ejercicio vamos a demostrar que un triangulo es un rectángulo

(a) Localizar las coordenadas A(-1,-3), B(6,1), C(2,-5) y probar que el triangulo ABC es un triangulo rectángulo.

Graficamos:

Buscamos la distancia entre los puntos de sus tres lados:

El lado mas largo es AB, este seria la hipotenusa. Mientras que los lados AC y BC serian los catetos. Ahora utilizaremos el Teorema de Pitágoras  para comprobar si la suma de los catetos AC y BC es igual a su hipotenusa AB, lo que lo haría un triangulo rectángulo.

Ha sido comprobado que el triangulo ABC es un triangulo rectángulo.

(b) Buscar el área del triangulo rectángulo

Inecuaciones Racionales.

Los dias del 11 y 12 de septiembre, comenzamos con el tema de inecuaciones racionales. Las inecuaciones racionales son definidas como aquellas que se forman como el cociente de dos polinomios. Es practicamente lo mismo que las inecuaciones cuadraticas pero con fracciones. 

 

Se escoge el simbolo de + por la desigualdad del ejercicio que en este caso es mayor o igual.

Despues se pone el conjunto solución que es [0, 1).

0 ≤ x < 1

*El 1 no se incluye ya que si lo sustituyes por la x, queda el 0 como denominador. El 0 no esta definido cuando este en el denominador.

 

Plano Cartesiano y Formula de Distancia

El dia de hoy comenzamos explicando el plano cartesiano y sus diferentes partes y funciones. El plano es este:

Dijimos sobre este que el eje de x se encuentra horizontalmente y el eje de y verticalmente. La variable x es independiente y se le llama "abscisa", mientras que a la y se le llama "ordenada" y es una variable dependiente. Las coordenadas se ubican en puntos en el plano cartesiano. Por ejemplo, un ejercicio que te da las coordenadas (-4,3) y (2,4) se graficaria de esta manera:

Si se quiere buscar la distancia entre esos dos puntos se debe primero trazar una linea desde un punto a otro. Luego se utiliza la formula de distancia que es la siguiente:

Al sustituirse los valores, se resuelve de esta manera:

Inecuaciones lineales y cuadraticas

      En la clase del 7 de septiembre repasamos como resolver desigualdades lineales tales como:

               3x - 5  >  7             Similar a una ecuacion lineal despejamos
                    3x  >  12            la variable.   (Tenemos que recordar que
                      x  >  4              si dividimos o multiplicamos por un
                                              coeficiente negativo, la desigualdad
                                              cambia)  Luego se hace la grafica y se
                                              presenta la solucion en notacion de
                     [4, inf   )           intervalo.




           - 7 <  2x - 5 < 8         En este ejemplo dejamos la variable sola
                -2 <  2x < 13        en el centro haciendo las operaciones
                 -1 <  x  < 13/2     correspondientes en  los tres lados.


                  [-1 , 13/2 )         Este es el intervalo.



Veamos ahora una desigualdad o inecuacion cuadratica:

           X^2 - 5X + 6 < 0                     Pasos:
                                                           *  Pasar todos los terminos  a un
                                                               lado de la desigualdad y dejar
                                                               cero en el otro.
            (x-3)(x-2)  <  0                       *  Factorizar
                                                           *  Determinar los intervalos
                                                           *  Completar la tabla de signos
                                                           *   Presentar la solucion
         Veamos la tabla:



     Intervalos               (-inf , 2]           [2 , 3]          [3 , inf)
 _______________________________________________
         (x-3)                         -                     -                    +
          (x-2)                        -                     +                   +
         (x-3)(x-2)                 +                     _                   +  

   La  solucion es  2 < X <  3       en  intervalo  [2 , 3]

Nota:  Para determinar la solucion, en la primera  columna que tiene los signos en rojo, al multiplicar los dos signos negativos el producto es positivo. En la proxima el producto es negativo y en la ultima es positivo.  La solucion tiene que ser negativa porque  la inecuacion   (x-3)(x-2)  <  0  implica que el producto de esos dos factores tiene que ser menor  o igual a cero y eso significa ser negativo o cero.

Ecuaciones Cuadraticas y Exponentes Racionales

El viernes hablamos en clase sobre las ecuaciones cuadraticas y exponentes racionales. Tenemos que llevar los exponentes racionales a exponentes enteros para poder resolverlos. Primero tenemos que tener en cuenta la formula estandar de ecuaciones cuadraticas es ax²+bx+c y asegurarnos de que el primer termino este al cuadrado. Luego tenemos que igualar todos los exponentes irracionales para poder darle un valor establecido por una variable. Para finalizar factorizamos y tendremos nuestras dos soluciones.

Ejemplo #1

*Para saber los valores de x debemos utilizar los valores de y obtenidos.

En algunos casos veremos cuando los denominadores de los exponentes racionales son diferentes, asi que hay que igualarlos.

Ejemplo #2